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00:00:05,025 --> 00:00:10,050
大家好，欢迎收看线性代数习题课。

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00:00:10,050 --> 00:00:15,560
我相信你们已经越来越熟悉矩阵的行列式了。我们在上一节课中，

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00:00:15,560 --> 00:00:21,070
还学习了矩阵行列式的几何意义，一个矩阵行列式的绝对值

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00:00:21,070 --> 00:00:26,570
也就是等于该矩阵行向量所张成的平行六面体的体积。

5
00:00:26,570 --> 00:00:31,280
今天我们就要用这个性质来解决如下的例题。

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00:00:31,280 --> 00:00:35,890
我们要计算一个四面体T的体积。

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00:00:35,890 --> 00:00:40,801
这个四面体由它的四个顶点，完全决定，

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00:00:40,801 --> 00:00:45,957
分别是原点，A1、A2和A3，

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00:00:45,957 --> 00:00:51,113
它们的坐标由这些数字给出。我们首先要计算

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00:00:51,113 --> 00:01:00,443
T的体积。随后如果A1和A2 不动，但把A3移动到新的一点A3'

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00:01:00,443 --> 00:01:07,073
A3'的坐标由如下给出，（-201，

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00:01:07,073 --> 00:01:14,690
-199，104） 我们要重新计算T的体积。

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00:01:14,690 --> 00:01:22,398
这里我们先来复习一下四面体的体积公式， 一个四面体的体积等于

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00:01:22,398 --> 00:01:26,460
1/3乘以底面积再乘以高。

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00:01:26,460 --> 00:01:32,240
你可以选取任何一面作为底面积，那么想对应的顶点就成为高。

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00:01:32,240 --> 00:01:36,621
这里以方便起见，我们将选择三角形O

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00:01:36,621 --> 00:01:42,950
A1A2为底面，那么相应的A3就成为顶点。

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00:01:42,950 --> 00:01:51,020
所以T的体积就由1/3 乘以三角形OA1A2的面积。

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00:01:51,020 --> 00:01:56,960
这表示它的面积，再乘以高，由字母H表示。

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00:01:56,960 --> 00:02:06,130
好，我们要用行列式的方法来计算 T的体积。但是我们知道一个矩阵的行列式

21
00:02:06,130 --> 00:02:15,925
是通过一个平行六面体的体积来联系的，
但是现在我们只有一个四面体。所以第一步应该是找到

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00:02:15,925 --> 00:02:22,110
一个平行六面体，使得T可以和该平行六面体联系起来。

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00:02:22,110 --> 00:02:29,440
现在请你暂停这个视频，尝试在这个图片上画出平行六面体。

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00:02:29,440 --> 00:02:33,570
稍后我将回来并介绍我的解法。

25
00:02:40,350 --> 00:02:47,130
我希望你已经成功地找到了那个平行六面体。

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00:02:47,130 --> 00:02:55,190
我们来观察这个四面体T， 它的四个顶点分别是原点，A1、A2和A3，

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00:02:55,190 --> 00:03:04,540
观察到这三条边，OA1 OA2和OA3全部相交于原点O，

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00:03:04,540 --> 00:03:10,430
那么同时这三条边，还可以张成一个平行六面体。

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00:03:10,430 --> 00:03:16,360
这就是我们所要考虑的平行六面体，我们来看这边的这个图片。

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00:03:16,360 --> 00:03:22,390
蓝色部分为原来的四面体T，

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00:03:22,390 --> 00:03:28,460
红色部分为我们要考虑的平行六面体，我记为P，

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00:03:28,460 --> 00:03:35,830
可以看到这个平行六面体由边OA1、OA2和OA3张成。

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00:03:35,830 --> 00:03:44,710
它完全包含了原来的四面体T， 下面我们要考虑，

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00:03:44,710 --> 00:03:49,380
T的体积与P的体积之间的关系。

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00:03:49,380 --> 00:03:53,290
它们的关系

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00:03:53,290 --> 00:04:00,010
由如下的式子给出。我们先来考虑T的体积。

37
00:04:00,010 --> 00:04:07,760
正如我们刚才所说的， T的体积等于1/3的底面积乘以高，

38
00:04:07,760 --> 00:04:14,970
底面积由这个三角形OA1A2的面积给出。

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00:04:19,200 --> 00:04:23,430
高由顶点A3到底面的距离给出。

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00:04:23,430 --> 00:04:30,330
那么平行六面体P的体积又是什么呢？

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00:04:30,330 --> 00:04:36,830
平行六面体P的体积由底面积乘以高给出。

42
00:04:40,930 --> 00:04:45,030
乘以高。

43
00:04:45,030 --> 00:04:52,330
同样我们可以选取任何一面作为底面积。

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00:04:52,330 --> 00:04:57,200
但是这里我们将选取这个平行四边形为底面积。

45
00:04:57,200 --> 00:05:07,060
原因很简单，这个平行四边形包含了 我们所选取的这个四面体的底面积。另外

46
00:05:07,060 --> 00:05:13,320
你可以看到这个平行四边形就是由两倍的这个三角形所构成。

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00:05:13,320 --> 00:05:22,320
所以底的面积，也就是等于2倍的 三角形OA1A2的面积，

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00:05:22,320 --> 00:05:28,580
再乘以高，

49
00:05:28,580 --> 00:05:38,390
那么如果选取了这个平行四边形作为底面的话， A3就变成了这个平行六面体的顶点，高就是

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00:05:38,390 --> 00:05:44,850
A3到这个底面的距离，但这和A3到三角形的距离是一致的。

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00:05:44,850 --> 00:05:48,890
也就是说这里的高，等于这里的H。

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00:05:48,890 --> 00:05:56,800
现在你可以比较这两个式子，你可以看得出来，T的体积

53
00:05:56,800 --> 00:06:02,730
也就是等于1/6的P的体积。

54
00:06:02,730 --> 00:06:11,540
我们找到了平行六面体P， 并且我们已把T的体积与P的体积联系起来。

55
00:06:11,540 --> 00:06:15,960
下面我们只需要求P的体积。

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00:06:15,960 --> 00:06:21,460
根据行列式的几何意义，我们知道P的体积，

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00:06:21,460 --> 00:06:26,960
也就是等于一个3乘以3矩阵行列式的绝对值。

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00:06:26,960 --> 00:06:30,200
不要忘记这个绝对值符号。

59
00:06:30,200 --> 00:06:37,490
该矩阵就由这三边作为行向量组成。

60
00:06:37,490 --> 00:06:46,000
那么因为每一边的起点都是原点，所以我们只 需要把这三个顶点的坐标放入矩阵即可。

61
00:06:46,000 --> 00:06:53,330
也就是2、2、-1， 1、3、0，

62
00:06:53,330 --> 00:06:57,230
-1、1、4。

63
00:06:57,230 --> 00:07:04,960
你可以用任意一种方法计算这个3乘以3矩阵的行列式。

64
00:07:04,960 --> 00:07:09,005
所得结果应该为12。

65
00:07:09,005 --> 00:07:13,050
那这就是这个平行六面体P的体积。

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00:07:13,050 --> 00:07:20,670
回到四面体T，我们知道四面体T的体积就应该等于1/6

67
00:07:20,670 --> 00:07:27,270
这个数值，也就是2。这样我们就得到了四面体T的体积。

68
00:07:27,270 --> 00:07:31,520
下面我们来考虑这个问题的第二部分。

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00:07:31,520 --> 00:07:36,260
现在我要保证A1和A2不动，

70
00:07:36,260 --> 00:07:43,950
但是我要把原来的顶点A3移动到一个新的顶点A3'，

71
00:07:43,950 --> 00:07:51,350
由（-201、-199、 104）给出。

72
00:07:51,350 --> 00:07:58,820
你可以从这个点的坐标看出，该点离原点非常的远。

73
00:07:58,820 --> 00:08:04,190
我们将无法在这个图片上准确地画出该点，但是你可以想象

74
00:08:04,190 --> 00:08:10,540
这个尖部将变得更为尖锐，也就是说整个四面体看起来像一个针状，

75
00:08:10,540 --> 00:08:14,520
尽管如此，我们还是可以计算它的体积。

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00:08:14,520 --> 00:08:19,570
通过同样的方法，所以我们

77
00:08:19,570 --> 00:08:24,770
用同样的方法计算T的体积。T的体积，

78
00:08:24,770 --> 00:08:31,240
这个新的四面体，我记为T'。T‘的体积，应该等于1/6

79
00:08:31,240 --> 00:08:36,920
乘以一个矩阵的行列式绝对值。那么现在这个矩阵

80
00:08:36,920 --> 00:08:43,520
前两行是不变的，2、2、-1，1、3、0，

81
00:08:43,520 --> 00:08:49,920
第三行将变为这个新的顶点的坐标，也就是-201、

82
00:08:49,920 --> 00:08:53,960
-199、104，

83
00:08:53,960 --> 00:09:00,550
你可以直接计算这个矩阵的行列式。

84
00:09:00,550 --> 00:09:05,160
如果你的计算没有错误的话，答案还应该是2。

85
00:09:05,160 --> 00:09:11,310
而实际上我并不需要再重复计算该矩阵的行列式，

86
00:09:11,310 --> 00:09:16,520
这个结果可以直接从A3到A3‘的变化中得出。

87
00:09:16,520 --> 00:09:25,790
我们来观察这个新的A3’， 你注意到新的第三行，实际上

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00:09:25,790 --> 00:09:32,680
等于原来的第三行减去100倍的第一行。

89
00:09:32,680 --> 00:09:40,900
也就是说，新的顶点是 在原来顶点基础上，沿着负的

90
00:09:40,900 --> 00:09:44,660
第一边的方向移动了100倍的第一边。

91
00:09:44,660 --> 00:09:51,790
反应在矩阵中就是这样的，第三行等于原有第三行减去100倍第一行，

92
00:09:51,790 --> 00:09:57,640
但是通过行列式的第五个性质，我们知道这样的变换是不改变行列式的。

93
00:09:57,640 --> 00:10:03,490
也就是说你可以直接得到和以前相同的结果，也就是2。

94
00:10:03,490 --> 00:10:10,510
那么这是一个比较直观的方法来观察矩阵行列式的第五个性质。

95
00:10:10,510 --> 00:10:16,670
反映在图片中是这样的，我们从原来的顶点A3出发，

96
00:10:16,670 --> 00:10:24,150
沿着A1的反方向移动100倍A1， 其实不管‘我们移动的距离有多大，

97
00:10:24,150 --> 00:10:29,120
我们这个移动的轨迹始终是和底面平行的。

98
00:10:29,120 --> 00:10:39,120
也就是说在移动过程中，这个平行六面体的高是并不改变的，平行六面体的底面是固定的，而-
高不改变，这就说明

99
00:10:41,075 --> 00:10:48,160
该平行六面体的体积是不改变的。所以我们同样得到了一样的结果。

100
00:10:48,160 --> 00:10:57,350
好，这就是这道题的答案，我希望通过这个
例题，你可以看出，矩阵行列式不仅仅是一个数值，

101
00:10:57,350 --> 00:11:00,980
它还可以和这样一幅图片相关联。

102
00:11:00,980 --> 00:11:06,120
这在我们计算某些几何图形的体积时，

103
00:11:06,120 --> 00:11:12,550
可以是非常方便的方法，因为通过这种方法，我们就不需要直接计算出高了。

104
00:11:12,550 --> 00:11:15,640
感谢收看，希望下次再见。

105
00:11:15,640 --> 00:11:21,180
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provided by the Lord Foundation.

106
00:11:21,180 --> 00:11:27,245
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00:11:27,245 --> 00:11:33,310
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