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00:00:00,000 --> 00:00:04,416
大家好，我是莉楠。欢迎收看

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00:00:04,416 --> 00:00:15,310
线性代数习题课。我们在课程中学习了矩阵行列式算法以及矩阵行列式的性质。

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00:00:15,310 --> 00:00:20,040
今天我们要用两道实际例题，来练习求解矩阵的行列式。

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00:00:20,040 --> 00:00:29,760
我们要计算以下两个矩阵的行列式， 矩阵A和矩阵B，它们都是5乘以5的矩阵。

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00:00:29,760 --> 00:00:34,990
我们可以观察到矩阵A对角线全部由x给出，

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00:00:34,990 --> 00:00:42,870
在前4行中，y在x右侧，在最后一行中，y出现在首位置，其余位置为0。

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00:00:42,870 --> 00:00:51,540
矩阵B的结构也很清晰， 对角线仍是由x给出，但是其余所有位置由y给出。

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00:00:51,540 --> 00:00:59,170
在你开始做这两道题之前，我们先来复习一下你所学的求解矩阵行列式的方法。

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00:00:59,170 --> 00:01:04,900
你当然可以通过消元法，使得原矩阵变成一个上三角矩阵；

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00:01:04,900 --> 00:01:09,650
或者是你可以直接用矩阵的定义公式来求解行列式；

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00:01:09,650 --> 00:01:16,650
或者是你还可以使用代数余子式，也就是一般所称的拉普拉斯公式，

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00:01:16,650 --> 00:01:25,170
你可以沿矩阵任意行或任意列展开， 计算该行或该列与其对应的代数余子式的内积。

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00:01:25,170 --> 00:01:30,230
好，现在请你暂停这个视频，试图求解

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00:01:30,230 --> 00:01:35,930
以下两个矩阵的行列式，随后我将演示我的解法。

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00:01:43,930 --> 00:01:49,265
好，我希望你已经完成了你的计算。

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00:01:49,265 --> 00:01:59,010
下面我们来一起求解这两个矩阵的行列式。先来看矩阵A， 你可以看出矩阵A有很多0元素，

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00:01:59,010 --> 00:02:04,360
所以我们应该不需要再使用消元法来引入更多的0元素。

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00:02:04,360 --> 00:02:14,239
另外，你可以观察出这个位置的y元素比较特殊， 因为如果这一行和这一列不存在的话，

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00:02:14,239 --> 00:02:19,180
那么剩余位置就是一个很简单的下三角矩阵。

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00:02:19,180 --> 00:02:28,250
同样，如果第一列与第一行不存在 的话，那么剩余位置就是一个上三角矩阵。

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00:02:28,250 --> 00:02:32,300
这就说明我们应该使用第三种方法

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00:02:32,300 --> 00:02:38,360
求解矩阵A的行列式。我们可以通过对矩阵A的第一列展开，

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00:02:38,360 --> 00:02:45,970
计算这两个元素1，1元素与5，1元素的代数余子式来求解行列式。

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00:02:45,970 --> 00:02:50,530
具体做法如下，矩阵

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00:02:50,530 --> 00:02:56,310
A的行列式由以下两项给出，

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00:02:56,310 --> 00:03:04,370
第一项是1,1位置元素，也就是x 乘以该位置的代数余子式，

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00:03:04,370 --> 00:03:08,660
也就是剩余4乘4矩阵的行列式。

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00:03:08,660 --> 00:03:12,950
那这个4乘4矩阵是上三角矩阵，所以它的行列式

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00:03:12,950 --> 00:03:19,970
就由对角线元素乘积给出，也就是x的4次方。

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00:03:19,970 --> 00:03:27,737
另外一项是5，1位置元素y， 乘以该位置的代数余子式，

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00:03:27,737 --> 00:03:34,753
该位置的代数余子式也是由一个4乘4矩阵行列式给出，

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00:03:34,753 --> 00:03:43,022
这是一个下三角矩阵，所以该矩阵的行列式同样是对角线元素的乘积，

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00:03:43,022 --> 00:03:52,795
也就是y的4次方。但是一般情况下， 这里还应该有一项来显示这一项的符号，

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00:03:52,795 --> 00:03:58,057
因为我们所看到的y是在5，1位置，

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00:03:58,057 --> 00:04:05,830
那么这项的符号由这个因数给出，-1的5+1次方。

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00:04:05,830 --> 00:04:11,810
这种情况下也就是说，矩阵A的行列式

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00:04:11,810 --> 00:04:17,790
等于x的5次方，加上y

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00:04:17,790 --> 00:04:27,425
的5次方。你可以检验你的答案 是否正确。你可以看出矩阵A的

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00:04:27,425 --> 00:04:31,630
行列式比较简单，因为矩阵A含有很多0元素。

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00:04:31,630 --> 00:04:36,100
下面我们要求解矩阵B的行列式。

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00:04:36,100 --> 00:04:43,112
请看这边， 矩阵B的结构同样很清晰，对角线由x给出，

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00:04:43,112 --> 00:04:51,880
非对角线位置由y给出，但是一般情况下，矩阵B并没有任何0元素。

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00:04:51,880 --> 00:05:01,845
所以我们第一步应该进行消元，可以使得矩阵B 有更多的0元素，具体做法如下。

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00:05:01,845 --> 00:05:11,540
在进行消元法的时候， 你当然可以按照一般的消元法从第一行开始逐行消元，

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00:05:11,540 --> 00:05:16,490
但是在这种情况下，有一种更为简便以及有效的方法，

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00:05:16,490 --> 00:05:26,000
我们观察到矩阵B相邻两行之间有很多 共同的元素，比如说在第四行和第五行之间，

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00:05:26,000 --> 00:05:32,260
前三个位置的元素完全相同，不同之处只在于最后两个位置。

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00:05:32,260 --> 00:05:42,245
所以如果你从第五行中减去第四行的话， 那么

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00:05:42,245 --> 00:05:47,660
新的第五行就将成为0，

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00:05:47,660 --> 00:05:53,210
0，0，y-x，

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00:05:53,210 --> 00:05:58,520
x-y。

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00:05:58,520 --> 00:06:03,830
你可以看到这一步就在新的第五行中引入了三个0元素。

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00:06:03,830 --> 00:06:09,640
观察第三行与第四行，它们具有同样的性质。

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00:06:09,640 --> 00:06:14,980
如果我在第四行中减去第三行的话，那么

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00:06:14,980 --> 00:06:22,160
我同样可以引入三个0元素，因为新的第四行就将成为0 ，0

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00:06:22,160 --> 00:06:27,940
y-x， x-y，

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00:06:27,940 --> 00:06:35,940
0。同理在第三行中减去第二行，

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00:06:35,940 --> 00:06:40,345
新的第三行就将成为0 ，

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00:06:40,345 --> 00:06:44,750
y-x， x-y ， 0， 0。

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00:06:44,750 --> 00:06:48,810
最后，我们在第二行中

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00:06:48,810 --> 00:06:56,330
减去第一行，那么新的第二行就是y-x，

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00:06:56,330 --> 00:07:00,320
x-y， 0 ， 0 ， 0。

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00:07:00,320 --> 00:07:08,190
第一行暂时不变，x ， y ， y ，

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00:07:08,190 --> 00:07:16,040
y， y。你可以看出，通过对矩阵B的行消元，

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00:07:16,040 --> 00:07:21,645
我们引入了很多的0元素。再观察这个新矩阵的

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00:07:21,645 --> 00:07:27,250
结构，我们注意到，在每行两个相邻的非0元素，

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00:07:27,250 --> 00:07:36,490
它们之间的差异只是一个符号，也就是说
如果我能对它们求和的话，那我将能够引入更多的0元素，

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00:07:36,490 --> 00:07:42,270
这就涉及到了我们对列进行初等变换，这也是不改变行列式的。

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00:07:42,270 --> 00:07:51,530
具体的变化方法如下， 我先保持最后一列不变，

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00:07:51,530 --> 00:07:58,460
y，0， 0 ， 0，x-y，

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00:07:58,460 --> 00:08:06,640
然后 我把最后一列加到第四列上，

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00:08:11,270 --> 00:08:15,900
你可以看出这样的话，第四列就将变成

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00:08:15,900 --> 00:08:21,400
2倍的y，0，0

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00:08:21,400 --> 00:08:27,770
x-y，这个位置就由原来的y-x变成0。

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00:08:27,770 --> 00:08:33,400
这样的话我增加了第四列中的0元素个数，

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00:08:33,400 --> 00:08:39,210
那么你如果继续的话，你可能会想要将

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00:08:39,210 --> 00:08:43,485
第四列加至第三列上。

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00:08:47,760 --> 00:08:54,340
如果你进行这个操作的话，第三列将变成2倍的y

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00:08:54,340 --> 00:09:02,710
0，x-y， 这个位置将被消成0，但是这个位置

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00:09:02,710 --> 00:09:07,180
你又引入了一个非0元素，也就是y-x。

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00:09:07,180 --> 00:09:14,260
这样的话，新的第三列并没有比原来第三列含有更多的0元素。

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00:09:14,260 --> 00:09:20,980
所以我们需要找到一种办法使得这个位置可以被消成0。

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00:09:20,980 --> 00:09:28,600
你也许已经注意到如果你再把一份第五列加至第三列上的话，这个位置就变成0。

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00:09:28,600 --> 00:09:33,530
那么在原来的矩阵中，实际上你要做的就是

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00:09:33,530 --> 00:09:43,320
把一份第四列与一份第五列同时加到第三列上， 那这样新的第三列实际上就变成

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00:09:43,320 --> 00:09:52,620
这个位置是3y，3倍的y， 这个位置就变成0。

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00:09:52,620 --> 00:10:00,820
所以我们应该按照这个规律继续， 那对于第二列的话，我们需要做的

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00:10:00,820 --> 00:10:10,380
就是把第三列、第四列 以及第五列全部加到第二列上，

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00:10:10,380 --> 00:10:16,950
那么新的第二列就将变成4y

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00:10:16,950 --> 00:10:23,510
x-y，0，0，0。

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00:10:23,510 --> 00:10:33,510
最后，对于第一列， 我们要把第二列到第五列全部加到第一列上，

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00:10:39,890 --> 00:10:46,090
那新的第一列就将变成x+4y，

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00:10:46,090 --> 00:10:55,120
其余位置全部为0， 这样我们就大大简化了矩阵B，

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00:10:55,120 --> 00:10:59,900
你可以看出最后我们得到的实际上是一个上三角矩阵。

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00:10:59,900 --> 00:11:07,820
这样的话矩阵B的行列式就很容易计算，矩阵B的行列式等于这个

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00:11:07,820 --> 00:11:12,270
上三角矩阵的行列式，也就是由对角线上元素的乘积给出。

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00:11:12,270 --> 00:11:21,960
那么就是x+4y 乘以x-y的4次方。

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00:11:21,960 --> 00:11:27,858
这就是我的方法，也许与你的方法不同，但是这两个例子

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00:11:27,858 --> 00:11:33,319
告诉我们在求解矩阵行列式的时候，我们应该灵活使用

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00:11:33,319 --> 00:11:43,148
一种、甚至两种方法的组合，尤其是在矩阵的结构
具有某些特殊的性质的时候，求解矩阵行列式

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00:11:43,148 --> 00:11:47,300
可以是难的，但同时也是有很多乐趣。

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00:11:47,300 --> 00:11:51,520
我希望这两个例子对你有所帮助，我们下次再见。