1
00:00:05,470 --> 00:00:10,940
大家好，欢迎收看线性代数习题课。

2
00:00:10,940 --> 00:00:15,065
我们在课堂上学习了矩阵的特征值与特征向量。

3
00:00:15,065 --> 00:00:19,190
它们一个非常重要的应用在于求解。

4
00:00:19,190 --> 00:00:25,940
常微分高阶线性方程在所有的线性系数为常数的情况下

5
00:00:25,940 --> 00:00:29,810
一个典型的例子就是这个方程。

6
00:00:29,810 --> 00:00:37,280
我们可以看到y是关于t的一个函数，这个方程包含了y

7
00:00:37,280 --> 00:00:41,560
以及y的一阶二阶和三阶导。

8
00:00:41,560 --> 00:00:44,740
并且所有的系数均为常数。

9
00:00:44,740 --> 00:00:49,800
我们首先要用矩阵的方法求解这个方程。

10
00:00:49,800 --> 00:00:54,670
那么第一步就是应该找到我们应该研究的矩阵A。

11
00:00:54,670 --> 00:01:00,480
在此之后我们还要试图找到矩阵At

12
00:01:00,480 --> 00:01:09,830
的系数矩阵的第一列。那么现在 请你暂停这个视频，尝试写出矩阵A。

13
00:01:09,830 --> 00:01:16,940
但是在你进行下一步之前，请回到这个视频，来确认你找到的矩阵A是正确的。

14
00:01:16,940 --> 00:01:22,635
我们一会儿再见。

15
00:01:22,635 --> 00:01:28,330
好，现在我们来一起将这个问题转化成线性代数问题。

16
00:01:28,330 --> 00:01:33,575
这个关键的点在于

17
00:01:33,575 --> 00:01:38,820
我们要把y二阶导y一阶导与y放在一起作为一个列向量。

18
00:01:38,820 --> 00:01:45,450
也就是说我们要考虑这个列向量。

19
00:01:45,450 --> 00:01:49,090
让我们来叫这个列向量u。

20
00:01:49,090 --> 00:01:54,510
当然这个列向量也将是关于t的一个函数。

21
00:01:54,510 --> 00:02:03,050
如果这个是u的话，那么u的导数应该是什么呢？ u的导数将由如下的向量给出。

22
00:02:03,050 --> 00:02:07,530
y的三阶导y的二阶导

23
00:02:07,530 --> 00:02:13,330
y的一阶导，这就是u的导数。

24
00:02:13,330 --> 00:02:18,945
我们要做的就是把u的导数

25
00:02:18,945 --> 00:02:24,560
写成一个矩阵A乘以u自身的形式。

26
00:02:24,560 --> 00:02:28,620
也就是说我们要把一个矩阵A放在这里。

27
00:02:28,620 --> 00:02:36,500
如何找到矩阵A呢？ 我们需要这个方程来找到矩阵A。

28
00:02:36,500 --> 00:02:46,135
你可以看出如果把这些项移至等号的右侧的话 那么y的三阶导就等于负2乘以y的二阶导

29
00:02:46,135 --> 00:02:51,070
也就是说y的三阶导等于负2乘以y的二阶导

30
00:02:51,070 --> 00:02:56,915
加上y的一阶导1乘以y的一阶导

31
00:02:56,915 --> 00:03:02,760
再加上2倍的y，这样我们就得到了矩阵A的第一行。

32
00:03:02,760 --> 00:03:12,690
那么对于第二个坐标，y的二阶导就等于 它自身，也就是说第二行应该就为1 0 0。

33
00:03:12,690 --> 00:03:21,060
第三行同样，y的一阶导也等于 它自身，第三行就应该为0 1 0。

34
00:03:21,060 --> 00:03:26,420
这就是我们所需要的矩阵A，你的答案正确吗？

35
00:03:26,420 --> 00:03:33,860
下面我们要解决如下的问题，需要矩阵A的特征值与特征向量。

36
00:03:33,860 --> 00:03:42,830
这也是一个很好的练习，现在请你暂停这个 视频，尝试独立求解以后的问题。

37
00:03:42,830 --> 00:03:48,320
当你完成后，可以重新开始这个视频，我将介绍正确的解法。

38
00:03:55,430 --> 00:04:02,540
好，我们来一起完成如下的问题。

39
00:04:02,540 --> 00:04:09,180
我有这个矩阵A，下面我需要找到矩阵A的特征值与特征向量。

40
00:04:09,180 --> 00:04:14,560
要做这一步的话，我们需要考虑如下矩阵的行列式。

41
00:04:14,560 --> 00:04:21,880
A减去λ乘以单位矩阵。

42
00:04:21,880 --> 00:04:28,570
如果将这个写出的话，也就是以下的3乘以3矩阵。

43
00:04:28,570 --> 00:04:34,583
负2减去λ 1 2 1

44
00:04:34,583 --> 00:04:40,250
负λ 0 0 1 负λ

45
00:04:40,250 --> 00:04:45,560
你可以用任何一种方法求解这个矩阵的行列式。

46
00:04:45,560 --> 00:04:51,480
你可以用行列式的定义式，也可以用其中一行或一列的展开。

47
00:04:51,480 --> 00:05:01,280
如果你的求解正确的话，答案应该为1减去 λ乘以1加上λ再乘以2加上λ。

48
00:05:01,280 --> 00:05:06,060
显而易见这个多项式有三个根。

49
00:05:06,060 --> 00:05:11,470
1、负1以及负2，这就是我们所要找的特征值。

50
00:05:11,470 --> 00:05:14,790
所以第一个特征值为1

51
00:05:14,790 --> 00:05:22,670
第二个特征值为负1，第三个特征值为负2。

52
00:05:22,670 --> 00:05:30,370
如何找到它们对应的特征向量呢？ 我们以第一个特征值为例。

53
00:05:30,370 --> 00:05:39,650
对应于第一个特征值特征向量应该存在于 这个矩阵的零空间中A减去单位向量。

54
00:05:39,650 --> 00:05:43,530
也就是A减去λ1乘以单位向量。

55
00:05:43,530 --> 00:05:53,370
我们需要找到一个列向量，使得 这个矩阵乘以这个向量，值为零。

56
00:05:53,370 --> 00:05:59,994
如果我们展开的话，也就是负3 1

57
00:05:59,994 --> 00:06:05,882
2 1 负1 0 0 1 负1

58
00:06:05,882 --> 00:06:12,874
乘以列向量a b c 等于0。如何决定a

59
00:06:12,874 --> 00:06:19,500
b c呢？如果我们看最后一行的话。

60
00:06:19,500 --> 00:06:29,250
那么b应该等于c，如果看第二行的话 a应该等于b，如果a等于b等于c同时成立

61
00:06:29,250 --> 00:06:38,886
那么第一行结果永远是零，所以我们就可以将 第一个特征向量取为1

62
00:06:38,886 --> 00:06:45,610
1 1，对于第二个和第三个特征值

63
00:06:45,610 --> 00:06:51,530
你可以用一样的方法，我将省略这里的计算，直接写出答案。

64
00:06:51,530 --> 00:06:58,080
第二个特征向量可以取为1 负1

65
00:06:58,080 --> 00:07:02,915
1 第三个特征向量

66
00:07:02,915 --> 00:07:06,930
可以取为4 负2 正1

67
00:07:06,930 --> 00:07:13,950
这就是矩阵A的所有特征值与所有特征向量。

68
00:07:13,950 --> 00:07:19,850
有了这些信息我们就可以写出方程

69
00:07:19,850 --> 00:07:23,980
u导数等于A乘以u的一般解。

70
00:07:23,980 --> 00:07:29,990
那么u的一般解将由如下式子给出。

71
00:07:29,990 --> 00:07:36,740
u的一般解就等于一个常数c1

72
00:07:36,740 --> 00:07:43,410
乘以e的λ1乘以t次方，那么也就是e的t次方。

73
00:07:43,410 --> 00:07:53,200
再乘以第一个特征向量x1 加上另外一个常数c2乘以e的λ

74
00:07:53,200 --> 00:07:59,610
2的t次方，也就是负t次方再乘以第二个特征向量x2

75
00:07:59,610 --> 00:08:08,090
同理再加上另外一个常数 乘以e的负2t次方再乘以x3

76
00:08:08,090 --> 00:08:12,630
这就是ut的一般解。

77
00:08:12,630 --> 00:08:18,060
关于常数c1 c2和c3的选取是任意的。

78
00:08:18,060 --> 00:08:23,760
那么如何从ut得到y呢？你可以看到

79
00:08:23,760 --> 00:08:28,920
根据ut的定义y就是ut的最后一个坐标。

80
00:08:28,920 --> 00:08:34,080
那么这里我们只需要x1 x2和x3的最后一个坐标。

81
00:08:34,080 --> 00:08:42,590
你可以看到它们都为1，所以 yt的一般解也就由

82
00:08:42,590 --> 00:08:47,850
常数c1乘以e的t次方加上c2乘以

83
00:08:47,850 --> 00:08:53,110
e的负t次方加上c3乘以e的负2t次方给出。

84
00:08:53,110 --> 00:08:58,080
这就是原来常微分方程的一般解。

85
00:08:58,080 --> 00:09:06,861
好，我们已经完成了问题的第一部分，下面我们将要试图

86
00:09:06,861 --> 00:09:11,740
寻找到指数矩阵At的第一列。

87
00:09:11,740 --> 00:09:17,680
我们可以一起来回顾指数矩阵At的公式。

88
00:09:17,680 --> 00:09:25,990
矩阵指数At将由三个矩阵 的乘积给出，分别记为矩阵S

89
00:09:25,990 --> 00:09:32,702
乘以矩阵e的大写Λ的t次方 再乘以S的逆矩阵

90
00:09:32,702 --> 00:09:39,414
那么什么是S，什么是e的Λ的t次方呢？

91
00:09:39,414 --> 00:09:48,364
S是如下矩阵，S的列全部由原来的 特征向量给出，x1

92
00:09:48,364 --> 00:09:55,074
x2和x3所以S就为x1 x2 x3

93
00:09:55,074 --> 00:10:00,827
那么你可以把它写出，也就是1 1

94
00:10:00,827 --> 00:10:05,938
1 1 负1 1 4 负2 1

95
00:10:05,938 --> 00:10:15,527
这就是矩阵S，中间这个矩阵就为一个对角阵， 对角线上的元素

96
00:10:15,527 --> 00:10:23,850
就为e的t次方，e的负t次方和e的负2t次方。

97
00:10:23,850 --> 00:10:32,467
这里的系数分别对应于你所得到的三个特征值， 好，我们有了矩阵S，

98
00:10:32,467 --> 00:10:41,845
有了矩阵e的Λ的t次方，我们就可以求解 这个指数矩阵了。所以这个指数矩阵

99
00:10:41,845 --> 00:10:48,181
就等于S 乘以这个矩阵，再乘以S的逆，你可以看到

100
00:10:48,181 --> 00:10:54,264
头两个矩阵的乘积较简单，因为这是一个对角阵，

101
00:10:54,264 --> 00:11:00,601
x的列又由x1，x2，x3列向量给出，

102
00:11:00,601 --> 00:11:08,712
那么前两个矩阵的乘积就应该为e的t次方乘以x1，e的负t次方

103
00:11:08,712 --> 00:11:14,288
乘以x2，e的负2t次方乘以x3，

104
00:11:14,288 --> 00:11:23,413
下面我们需要用这个矩阵再乘以S的逆， 但是因为我们只关注结果的第一列，

105
00:11:23,413 --> 00:11:33,298
而结果第一列将由这些列的线性组合给出， 线性组合的系数将由S逆的第一列给出，

106
00:11:33,298 --> 00:11:38,630
所以其实我们只需要找到S逆的第一列即可。

107
00:11:38,630 --> 00:11:47,626
那么S逆的第一列由什么给出呢？ 我们可以一起来回顾S逆的公式

108
00:11:47,626 --> 00:11:55,123
S的逆矩阵等于一个常数也就是 1除以S的行列式，

109
00:11:55,123 --> 00:12:04,420
再乘以矩阵C的转置， 矩阵C的元素由矩阵S的代数余子式给出，

110
00:12:04,420 --> 00:12:12,220
对它求转置，再除以矩阵S的行列式就得到了S的逆。

111
00:12:12,220 --> 00:12:16,250
那么我们只需要这个矩阵的第一列。

112
00:12:16,250 --> 00:12:21,359
同样你可以用任意一种方法求解矩阵S的行列式

113
00:12:21,359 --> 00:12:28,658
正确结果应该为6，也就是说这里的常数应为6分之1，

114
00:12:28,658 --> 00:12:37,173
那么矩阵C转置的第一列是什么呢？ 这个位置的元素将由这个位置代数余子式

115
00:12:37,173 --> 00:12:42,040
给出，也就是负1减去负2为1。

116
00:12:42,040 --> 00:12:50,896
这个位置的元素，将由这个位置 代数余子式给出，也就是1减去负2为3，

117
00:12:50,896 --> 00:12:57,710
但是不要忘记这是1，2位置元素，所以应该是负3。

118
00:12:57,710 --> 00:13:00,630
最后这个位置的元素将由

119
00:13:00,630 --> 00:13:08,062
这个位置代数余子式给出，也就是1减去负1为2，

120
00:13:08,062 --> 00:13:13,636
所以这里应该为2。这里需要注意的两点是

121
00:13:13,636 --> 00:13:18,945
第一不要忘记我们所取的是矩阵C的转置，

122
00:13:18,945 --> 00:13:27,969
第二不要忘记这里这个系数负1， 好，下面我们把这一列抄到这里，

123
00:13:27,969 --> 00:13:35,670
也就是6分之1，负2分之1， 和3分之1。

124
00:13:35,670 --> 00:13:41,230
这就足够我们写出系数矩阵At的第一列了。

125
00:13:41,230 --> 00:13:49,280
系数矩阵A的第一列， 由这些列的线性组合给出，也就是

126
00:13:49,280 --> 00:13:56,055
6分之1倍的e的t次方乘以x1，

127
00:13:56,055 --> 00:14:04,860
减掉2分之一的e的负t次方乘以x2， 再加上3分之1

128
00:14:04,860 --> 00:14:12,300
的e的负2t次方乘以x3， 这就是我们所要寻找的第一列。

129
00:14:12,300 --> 00:14:17,840
这就是正确答案，如果你

130
00:14:17,840 --> 00:14:23,380
希望进行更多练习的话，你可以完成对于矩阵S逆的求解。

131
00:14:23,380 --> 00:14:27,820
并完成对于系数矩阵At的求解。

132
00:14:27,820 --> 00:14:32,280
但是我将停在这里，好感谢收看。

133
00:14:32,280 --> 00:14:36,740
希望下次再见！