1
00:00:05,525 --> 00:00:11,050
大家好，我是莉楠，欢迎收看线性代数习题课。

2
00:00:11,050 --> 00:00:14,240
很高兴，能为大家讲解第一节习题课。

3
00:00:14,240 --> 00:00:24,120
我们在第一节课中学习了很多重要的概念，
我们学习了如何在不同的视点下，来观察一个线性方程组。

4
00:00:24,120 --> 00:00:32,600
主要有行视点、列视点， 还有在矩阵的意义下，来求解一个线性方程组。

5
00:00:32,600 --> 00:00:37,730
那么今天我们将用一个比较简单的例子，来复习这些概念。

6
00:00:37,730 --> 00:00:45,820
你对其中一些概念可能已经比较熟悉， 但是另外一些概念可能是比较新的内容。

7
00:00:45,820 --> 00:00:51,160
我们来一起看这个简单的2乘2线性方程组，

8
00:00:51,160 --> 00:00:56,570
这里我们有两个方程，两个未知数X与Y，

9
00:00:56,570 --> 00:01:01,310
我们要找到X和Y，使得这两个方程同时成立。

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00:01:01,310 --> 00:01:09,370
我要你们先做的是求解这个方程组， 你可以看到这个方程组其实非常简单。

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00:01:09,370 --> 00:01:19,000
但是更重要的是，我希望你们能利用这个方程组来 复习在课堂上所学的行视点与列视点，

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00:01:19,000 --> 00:01:24,270
你可以在一个XY坐标系中画出你的答案。

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00:01:24,270 --> 00:01:34,140
现在请你暂停这个视频，随后我将回来 讲解如何找到行视点与列视点，一会儿再见。

14
00:01:37,870 --> 00:01:45,470
好，欢迎回来。

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00:01:45,470 --> 00:01:48,690
我们先来一起求解这个线性方程组。

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00:01:48,690 --> 00:01:56,260
那么你常用的求解方法是哪一种呢？你当然可以用替换法，

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00:01:56,260 --> 00:02:03,490
也就是将X写成关于Y的一个公式，再替换到另外一个方程中。

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00:02:03,490 --> 00:02:09,890
我们来利用第二个方程，将X写成Y的公式。

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00:02:09,890 --> 00:02:15,510
那么由第二个方程，你可以看到X=2Y-1，

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00:02:15,510 --> 00:02:24,410
再将 这个式子替换到第一个方程中，

21
00:02:24,410 --> 00:02:33,330
就得出2倍的X替换成 2倍Y减去1，2（2Y-1)

22
00:02:33,330 --> 00:02:41,280
再加上Y等于3， 这样你得到了一个只关于Y的方程。

23
00:02:41,280 --> 00:02:46,000
简化这个方程，你可以看到，

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00:02:46,000 --> 00:02:52,250
这里是5Y，5Y-2=3，

25
00:02:52,250 --> 00:02:57,430
也就是说Y=1。

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00:02:57,430 --> 00:03:04,140
如果Y=1的话，再根据这个式子，我们可以看到X

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00:03:04,140 --> 00:03:09,560
也等于1。你可以看到这个解非常简单。

28
00:03:09,560 --> 00:03:14,540
这组线性方程的解就是X=Y=1

29
00:03:14,540 --> 00:03:24,530
那么下面我们来关注一下，如何在行视点和列视点下 观察这个线性方程组。好，

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00:03:24,530 --> 00:03:32,300
我们要在这个XY坐标系中先画出这个线性方程组所对应的行视点，

31
00:03:38,855 --> 00:03:45,410
所谓行视点，就是说我们要逐行考虑这个线性方程组，

32
00:03:45,410 --> 00:03:49,130
这里是第一行，这里是第二行，

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00:03:49,130 --> 00:03:56,140
那么如果只看第一行的话， 这给出一个什么东西呢？

34
00:03:56,140 --> 00:04:03,890
你可以看到，XY是两个变量，那么要满足2X+Y=3，

35
00:04:03,890 --> 00:04:09,110
你可以看到这个方程，实际上给出了XY平面中的一条直线，

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00:04:09,110 --> 00:04:15,320
我们现在要把这条直线画在坐标系中，如何来确定这条直线呢？

37
00:04:15,320 --> 00:04:23,220
最简单的办法就是找到直线上的两点， 将两点连接的话，我们就得到了唯一一条直线。

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00:04:23,220 --> 00:04:30,600
要找到这两点的话，我们可以将X设成两个任意的值。

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00:04:30,600 --> 00:04:39,350
为方便起见，先将X设成 0，如果X是0的话，Y应为3，也就是说

40
00:04:39,350 --> 00:04:44,760
这条直线肯定要经过这一点，X是0，Y是3，

41
00:04:44,760 --> 00:04:53,240
再来把X设成1， 如果X是1的话，那么Y也为1，

42
00:04:53,240 --> 00:04:56,880
也就是说这条直线还应该经过这一点。

43
00:04:56,880 --> 00:05:00,560
这样的话，我们就有了直线上的两点。

44
00:05:00,560 --> 00:05:03,790
将它们连接的话，我们就得到那条直线。

45
00:05:11,790 --> 00:05:20,320
这就是 经过这两点的直线，也就是由这个方程给出。

46
00:05:20,320 --> 00:05:26,440
2X+Y=3

47
00:05:26,440 --> 00:05:34,830
这是第一条直线，也就是第一行。下面来看第二行， 第二行是X-2Y=-1

48
00:05:34,830 --> 00:05:38,760
同样它也给出了XY平面上的一条直线。

49
00:05:38,760 --> 00:05:44,035
同理，将X设成0，我们看到X=0时，Y应等于

50
00:05:44,035 --> 00:05:53,695
1/2，也就是说，第二条直线应经过这一点，X是0 Y为1/2。再来将X

51
00:05:53,695 --> 00:06:01,940
设成1，如果X=1的话，Y也等于 1， 就说明这条直线还应该经过这一点。

52
00:06:01,940 --> 00:06:05,880
将这两点连接的话，我们就得到了第二条直线。

53
00:06:12,635 --> 00:06:22,540
这就是第二条直线，方程由X-2Y 等于-1。

54
00:06:22,540 --> 00:06:28,300
这就是第二行。

55
00:06:28,300 --> 00:06:37,855
你可以看到在行视点下，第一行给出一条直线，
第二行又给出另外一条直线。那么将两个方程放在一起

56
00:06:37,855 --> 00:06:42,610
的话，我们实际上是要找到这两条直线的交点。

57
00:06:42,610 --> 00:06:51,750
因为我们希望找到XY，使得那一点同时在 第一条与第二条直线上，很显然这一点。

58
00:06:51,750 --> 00:07:00,190
解应由这一点相交点的坐标给出，
那么根据前面的计算，我们知道这一点的坐标应该是（1，1）。

59
00:07:00,190 --> 00:07:08,610
同样在我们画出两条直线的过程中，我们也 注意到了两条直线都经过这个（1，1）点。

60
00:07:08,610 --> 00:07:13,510
好，这就是行视点下观察这个线性方程组。

61
00:07:13,510 --> 00:07:17,970
它是两条直线相交于解所在的点。

62
00:07:17,970 --> 00:07:26,960
下面来看列视点下， 我们应该得到一个什么样的图片。

63
00:07:26,960 --> 00:07:36,440
既然叫做 列视点，那我们需要找到这个列在哪里？

64
00:07:36,440 --> 00:07:41,980
现在我们来观察这个线性方程组，我们

65
00:07:41,980 --> 00:07:51,300
先关注X，每个方程中X前 的系数，那么第一个方程中X前的系数是2，

66
00:07:51,300 --> 00:07:56,580
第二个方程中X之前的系数是1，

67
00:07:56,580 --> 00:08:06,460
我们把它放在一起，作为一个 平面中的列向量记为V1，

68
00:08:06,460 --> 00:08:13,910
这就是X前，两个方程中X前的系数。

69
00:08:13,910 --> 00:08:21,710
同样的我们来关注Y前面的系数， 在第一个方程中Y前的系数是1，

70
00:08:21,710 --> 00:08:31,700
第二个方程中Y前的系数是-2， 把它们放在一起，记做列向量V2。

71
00:08:31,700 --> 00:08:37,620
每个方程中，X前

72
00:08:37,620 --> 00:08:45,870
系数由这个列向量给出，那么我们可以想象， 把X看成这个列向量的系数，

73
00:08:45,870 --> 00:08:51,880
同样我们把Y看成这个列向量V2的系数。

74
00:08:51,880 --> 00:08:58,100
现在，这个线性方程组的左边应该写成什么呢？

75
00:08:58,100 --> 00:09:07,870
你可以看到，我们实际上就是把这两项 加了起来，这就是线性方程组的左侧。

76
00:09:07,870 --> 00:09:15,970
那么右侧 也就是把两个常数放在一起作为一个列向量。

77
00:09:15,970 --> 00:09:20,710
3和1。这就给出了线性方程组的右侧。

78
00:09:20,710 --> 00:09:29,310
所以实际上我们做的就是把 X倍的V1加上Y倍的V2，

79
00:09:29,310 --> 00:09:37,620
要找到合适的系数X和Y，使得这个和 由向量3、-1给出。

80
00:09:37,620 --> 00:09:41,890
好，下面我们来完成这个图片。

81
00:09:41,890 --> 00:09:51,680
我们要把V1和V2画在这个XY坐标中。V1是2、1， 所以V1大概在这里。

82
00:09:51,680 --> 00:09:57,740
这是V1

83
00:09:57,740 --> 00:10:01,840
V2是1和-2，1和-2。

84
00:10:05,500 --> 00:10:15,170
这就是V2， 正如我们所说的，我们要找到合适的系数XY

85
00:10:15,170 --> 00:10:19,930
使得这项与这项相加，就给出了这个常数向量。

86
00:10:19,930 --> 00:10:28,520
那么你通过前面的求解， 可以看出X和Y应同时被取为1，

87
00:10:28,520 --> 00:10:32,870
也就是说，这里我们要把1份的V1，

88
00:10:32,870 --> 00:10:38,810
加到1份的V2上，我们要求V1与V2的和。

89
00:10:38,810 --> 00:10:46,830
在这个图片中，如何来表示V1与V2的和呢？ 我们现在是要求解两个向量的和。

90
00:10:46,830 --> 00:10:53,980
那么我们要做的是将两个向量所张成的平行四边形画出。

91
00:10:53,980 --> 00:10:59,030
在这个平行四边形上，对角线上的向量，

92
00:10:59,030 --> 00:11:04,390
就是这两个向量的和，就是这个向量。

93
00:11:04,390 --> 00:11:09,340
我们来验证这个向量是否等于这个常数向量呢？

94
00:11:09,340 --> 00:11:16,560
我们是把1倍的V2加到1倍的V1上，你可以分别检验两个坐标。

95
00:11:16,560 --> 00:11:24,340
X坐标2加上1等于3， 这是2+1=3，

96
00:11:24,340 --> 00:11:29,780
Y坐标是1-2=-1。

97
00:11:29,780 --> 00:11:35,180
1-2=-1，好，这就是

98
00:11:35,180 --> 00:11:40,190
列视点下，和该线性方程组所对应的图片。

99
00:11:40,190 --> 00:11:46,890
我们是将1倍的V1与1倍的V2相加，结果得到这个常向量。

100
00:11:46,890 --> 00:11:55,600
3、-1，那么这个系数，1、1，来自于 之前我们的求解，也同样来自于行视点下的图片。

101
00:11:55,600 --> 00:12:01,580
好，这就是和这个例题相关的行视点和列视点。

102
00:12:01,580 --> 00:12:09,450
在结束之前，我还来介绍一下，如何在矩阵的形式下来观察这个线性方程组。

103
00:12:19,530 --> 00:12:28,930
这里我们应该关注哪一个矩阵呢？ 现在我要把这个向量V1和V2放在一起，

104
00:12:28,930 --> 00:12:37,990
作为列向量，所得的 矩阵记为A，这就是我们所要关注的矩阵。

105
00:12:37,990 --> 00:12:44,250
展开的话，应为2、1，1、-2。

106
00:12:44,250 --> 00:12:51,100
在这样考虑下，我们可以如何改写这个线性方程组呢？

107
00:12:51,100 --> 00:12:55,590
或者说我们应该如何改写这个等号左侧呢？

108
00:12:55,590 --> 00:13:01,430
实际上等号左侧就变为矩阵A，

109
00:13:01,430 --> 00:13:07,610
乘以向量X和Y。

110
00:13:07,610 --> 00:13:12,510
我把两个未知数X和Y放在一起作为一个向量，

111
00:13:12,510 --> 00:13:18,360
这就变成了线性方程组的等号左侧。

112
00:13:18,360 --> 00:13:23,010
那么右侧就应该是3、-1，

113
00:13:23,010 --> 00:13:30,475
在我们将来的一些课程中，我们会学习

114
00:13:30,475 --> 00:13:37,940
如何直接求解这个方程，你看到的是一个矩阵乘以一个向量，等于另外一个常向量。

115
00:13:37,940 --> 00:13:47,445
我们将学习如何可以一次性求解这个未知向量的方法， 其实他的想法与对于

116
00:13:47,445 --> 00:13:51,710
数字方程进行求解的想法是一致的。

117
00:13:51,710 --> 00:13:57,284
假如说我们有数字方程ax=b， a、b

118
00:13:57,284 --> 00:14:02,250
已知，但X未知，如果a在不等于0的情况下，

119
00:14:02,250 --> 00:14:08,010
我们知道这个解就很简单的由b除以a给出。

120
00:14:08,010 --> 00:14:13,180
你可以写成a的逆，再乘以b。

121
00:14:13,180 --> 00:14:22,149
这里的想法是一样的，我们要找到另外一个矩阵，通常记为A的逆，

122
00:14:22,149 --> 00:14:26,769
使得A的逆乘以A，会给出一个单位

123
00:14:26,769 --> 00:14:32,204
矩阵，1、0，0、1，

124
00:14:32,204 --> 00:14:40,357
在这个矩阵逆存在的情况下， 这个解，未知向量X、Y就可以

125
00:14:40,357 --> 00:14:47,423
直接由A矩阵的逆乘以常数向量3、-1给出，

126
00:14:47,423 --> 00:14:54,217
在随后的课程中， 我们将学习如何求解矩阵A的逆，

127
00:14:54,217 --> 00:15:00,196
并如何计算矩阵A的逆与这个常数向量的乘积，

128
00:15:00,196 --> 00:15:04,550
但是这里，今天我将停在这里。

129
00:15:04,550 --> 00:15:09,330
我希望这个例题对你们有所帮助，也希望你们可以进行

130
00:15:09,330 --> 00:15:17,470
更多的练习，来尽快熟悉，这个列视点下的图片， 好，感谢收看，希望下次再见。

131
00:15:17,470 --> 00:15:22,520
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provided by the Lord Foundation.

132
00:15:22,520 --> 00:15:28,580
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133
00:15:28,580 --> 00:15:34,640
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